《函数项级数的基本概念、收敛域与解析性质》内容小结、题型与典型题

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一、函数项级数相关的基本概念

设函数u_n(x)在集合D⊂R上有定义，称

为D上的函数序列(或函数列). 称

为定义在集合D上的函数项级数.

如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得

则称函数序列{ u_n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u_n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u_n(x)}收敛域.

如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得

则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.

若用S_n(x)表示函数项级数前n项的和，即

则称S_n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称

为收敛域上的余项函数，并且有

如果对于任一点x∈I⊂D，级数

发散，则x为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.

二、函数项级数收敛域求解思路与步骤

因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就是常值级数收敛性的判定，所以函数项级数的收敛域的计算一般基于常值级数判定的方法，常用的是基于取项的绝对值的比值审敛法与根值判别法。所以基本步骤为：

步骤1：由比值判别法或根值判别法计算

步骤2：令|ρ(x)|<1，计算得到x∈I₁，该区间内的点不仅是函数项级数的收敛点，而且是函数项级数的绝对收敛点构成的集合(这个集合如果是一个区间，则称为函数项级数的收敛区间)；而|ρ(x)|>1的点构成的集合则是函数项级数发散点构成的集合。

步骤3：令|ρ(x)|=1，如果计算得到该方程的根为{x_k}_k=1,2,…，然后对这些点单独使用常值级数的其它判定方法判定对应的常值级数

收敛性，把其中收敛的点记作{x_k¹}，发散的点记作{x_k²}。

步骤4：收敛域等于I₁∪{x_k¹}. 即函数项级数的收敛域和发散域分别为：

收敛区间+收敛的端点=收敛域

发散区间+发散的端点=发散域 

【注】以上方法与步骤仅仅是通用的简单的方法，并不适用于所有函数项级数收敛域的判定. 

三、函数项级数的解析性质

1、点态收敛（按点收敛）

2、一致收敛与一致收敛的M判别法

3、函数项级数一致收敛，则其和函数连续、并且可以逐项可导和逐项积分，即

关于常值级数敛散性的判定参加推文(直接点击打开)：

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